喫茶Honfleur掲示板2005, 2006年

Message#3665 2006年5月12日(金)16時51分
From: 山本英司

西村さんへ

オウマー日記
http://www.bekkoame.ne.jp/i/sinzinrui/nikki.htm

の「(2006.5.11---06:40)　円錐切り!!」の

> 円錐と円柱との比が１：３であると中等数学の範囲でどうやって証明するのだろうか。

についてですが、
計算を簡単にするために以下、底面の１辺が１、高さが１の正四角錘で考えます。
底面の１辺が１、高さが１の正四角柱（て言うか立方体）の体積は１ですね。
さて、正四角錘の体積を考えるのに、近似として、

底面の１辺が1.0、高さが0.1の正四角柱
底面の１辺が0.9、高さが0.1の正四角柱
底面の１辺が0.8、高さが0.1の正四角柱
底面の１辺が0.7、高さが0.1の正四角柱
底面の１辺が0.6、高さが0.1の正四角柱
底面の１辺が0.5、高さが0.1の正四角柱
底面の１辺が0.4、高さが0.1の正四角柱
底面の１辺が0.3、高さが0.1の正四角柱
底面の１辺が0.2、高さが0.1の正四角柱
底面の１辺が0.1、高さが0.1の正四角柱

の合計を考えます。四角いせんべいの体積の合計で考えるわけですね。
すると、
1.0×1.0×0.1＋0.9×0.9×0.1＋0.8×0.8×0.1＋……＋0.1×0.1×0.1＝0.385
になります。
0.33＝1/3にはなりませんね。

しかしこれはあくまで近似だからで、
四角いせんべいをもっと薄く切っていけばいいのではないか。

ということで、0.01きざみで薄く四角いせんべいを切っていけば、
1.00×1.00×0.01＋0.99×0.99×0.01＋……＋0.01×0.01×0.01＝0.33835
になります（エクセルで計算してみました）。

これでもまだ0.33333...＝1/3にはなりませんが、
しかし、四角いせんべいをもっともっと薄く切っていったらどうなるか。

ということを考えるのが実は積分であって、
底面の面積であるｘ^2（ｘの２乗）を０から１まで積分すると、
ｘ^2の不定積分は(1/3)ｘ^3＋Ｃであることから、
０から１までの定積分は1/3－0＝1/3になります。

ということで、積分を使えば話は簡単なわけですが、
「中等数学の範囲」となると確かに難しいですね。

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